📍 垂直渐近线与可去间断点
接近无定义点时图像会发生什么
🎯 为什么这很重要?
在前一章我们学习了如何找到无定义点(分母为零的位置)。
现在我们将学习这些点附近图像的行为。有两种可能:
📊
垂直渐近线
图像"爆炸"趋于无穷
🕳️
可去间断点
图像中有一个小"洞"
📊 垂直渐近线
垂直渐近线 = 图像无限趋近但永不接触的垂直线
当趋近这条线时,图像"趋于无穷"(或负无穷)
何时存在垂直渐近线?
在 \(x = a\) 处:
分母为零:\(Q(a) = 0\)
分子不为零:\(P(a) \neq 0\)
渐近线方程:\(x = a\)
例:
\(f(x) = \frac{x+1}{x-3}\)
在 \(x = 3\) 处:
• 分母:\(3 - 3 = 0\) ✓
• 分子:\(3 + 1 = 4 \neq 0\) ✓
存在垂直渐近线:\(x = 3\)
🕳️ 可去间断点
可去间断点 = 函数无定义,但极限存在且有限的点
图像连续,只在一点处有一个小"洞"
何时出现可去间断点?
在 \(x = a\) 处:
分母为零:\(Q(a) = 0\)
分子也为零:\(P(a) = 0\)
换言之:分子与分母有公因式 \((x-a)\) 可以约去!
例:
\(f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}\)
在 \(x = 1\) 处:
• 分母:\(1 - 1 = 0\) ✓
• 分子:\(1^2 - 1 = 0\) ✓(也为零!)
→ 存在可去间断点!
因式分解并约分:
\(f(x) = \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1\)(对 \(x \neq 1\))
图像即直线 \(y = x + 1\),在 \(x = 1\) 处有一个洞
间断点: \((1, 2)\)
🔍 如何区分?- 对比表
垂直渐近线
可去间断点
\(x=a\) 处的分母
\(= 0\)
\(= 0\)
\(x=a\) 处的分子
\(\neq 0\)
\(= 0\)
极限
\(\pm \infty\)
有限值
图像
"爆炸"趋于无穷
该点处有"洞"
约分
不能约分
可约去公因式
💡 快速判断技巧:
在分母为零的 \(x = a\) 处,将 \(a\) 代入分子:
若分子不为零 → 垂直渐近线
若分子也为零 → 可去间断点
✏️ 详细例题
题目:对 \(f(x) = \frac{x^2-4}{x^2-x-2}\),求垂直渐近线与可去间断点。
步骤 1:分子与分母因式分解
分子:\(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\)
分母:\(x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)\)
步骤 2:求无定义点(分母 = 0)
\((x-2)(x+1) = 0\)
\(x = 2\) 或 \(x = -1\)
步骤 3:逐点检查
对 \(x = 2\):
分子:\((2-2)(2+2) = 0 \cdot 4 = 0\) ✓
→ 分子也为零 → 可去间断点!
对 \(x = -1\):
分子:\((-1-2)(-1+2) = (-3)(1) = -3 \neq 0\)
→ 分子不为零 → 垂直渐近线!
步骤 4:求出可去间断点
约分:\(f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)} = \frac{x+2}{x+1}\)(对 \(x \neq 2\))
代入 \(x = 2\) 到约分后的函数:
\(y = \frac{2+2}{2+1} = \frac{4}{3}\)
可去间断点: \(\left(2, \frac{4}{3}\right)\)
答:
• 垂直渐近线:\(x = -1\)
• 可去间断点:\(\left(2, \frac{4}{3}\right)\)
🔢 渐近线附近的单侧极限
趋近垂直渐近线时,图像可以趋于 \(+\infty\) 或 \(-\infty\)。
要判断方向,需要检查渐近线两侧的符号。
例:\(f(x) = \frac{1}{x-2}\)
垂直渐近线为 \(x = 2\)
侧
测试点
符号
极限
\(x \to 2^-\)(左侧)
\(x = 1.9\)
\(\frac{1}{-0.1} < 0\)
\(-\infty\)
\(x \to 2^+\)(右侧)
\(x = 2.1\)
\(\frac{1}{0.1} > 0\)
\(+\infty\)
💡 考试重要提示
1️⃣ 始终因式分解!
首先 - 对分子与分母因式分解
这样容易识别公因式
2️⃣ 间断点 = 有序对!
不要忘记求出 \(y\)
代入约分后的函数
3️⃣ 渐近线 = 方程!
答案是 \(x = a\)
不只是数 \(a\)
4️⃣ 两个都要检查!
每个无定义点都要检查
是渐近线还是间断点
📝 总结
在分母为零的 \(x = a\) 处:
分子 \(\neq 0\)
→
垂直渐近线
分子 \(= 0\)
→
可去间断点
现在您可以继续学习下一个主题:水平渐近线!